Личность в истории

Проживший недолгую жизнь — он умер от туберкулеза, не достигнув полных сорока лет, Бернгард Риман, без сомнения, является одним из самых глубоких и проницательных математических гениев, каких только знает история науки. Его труды, относящиеся по сути дела лишь к одному десятилетию — 50-м годам XIX в., охватывают все основные области математики и оказывали и продолжают оказывать плодотворное воздействие на ее развитие.

Георг Фридрих Бернгард Риман родился 17 сентября 1826 г. в селе Брезеленце (Нижняя Саксония) в семье пастора, вторым из шести детей. Его блестящие способности к математике проявились еще в гимназии, где он сверх обязательного курса изучал труды Эйлера и Лежандра. Поступив весной 1846 г. в Гёттингенский университет, он сначала по настоянию отца избирает филологию и теологию, но одновременно посещает лекции по математике и физике. Так, летом он слушает лекции Морица Штерна (1807–1894) по численному решению уравнений и Карла Гольдшмидта (1807–1851) по земному магнетизму, а в зимний семестр 1846–1847 гг.— К. Ф. Гаусса по методу наименьших квадратов и М. Штерна по определенным интегралам. Его влечение к математике было так велико, что отец должен был уступить, и он целиком отдался любимому занятию. Но сам Гаусс мало интересовался преподаванием в этот период своей жизни, и мы видим Римана весной следующего 1847 г. уже в Берлине, где в то время преподавали Якоби, Лежен-Дирихле и Штейнер. Здесь он слушает также лекции Эйзенштейна по теории эллиптических функций. Позднее Риман рассказывал о своих разногласиях с Эйзенштейном по поводу понятия функции комплексного переменного. Последний отстаивал первенство формального вычислительного аппарата, тогда как Риман уже тогда полагал в основу дифференциальные уравнения с частными производными (уравнения Даламбера — Эйлера).

Весной 1849 г. Риман снова в Гёттингене. Здесь он посещает в течение трех семестров лекции по естествознанию и философии. Наибольшее воздействие на него оказывают лекции по экспериментальной физике Вильгельма Вебера (1804–1891), в котором Риман нашел верного друга. Глубокий интерес к физике, стремление создать единую математическую теорию, охватывающую весь комплекс физических явлений и тесно связанную со свойствами пространства, характерны для Римана. «Главная моя работа, — пишет он в одном месте,— касается нового понимания известных Законов природы, выражения их через другие основные понятия, которое дало бы возможность использовать экспериментальные данные о взаимодействии между теплотой, светом, электричеством и магнетизмом для взаимной связи этих явлений» [1] . Осенью 1850 г. он участвует в физико-математическом семинаре, который ведут профессора В. Вебер математик Г. Ульрих (1798–1879), М. Штерн и И. Б. Листинг (1808–1882). Как известно, последнему принадлежит первая в литературе попытка изложить принципы зарождающейся математической науки — топологии. По фактическому вкладу в математические исследования не Листингу, а Риману суждено было стать отцом топологии. Но весьма вероятно, что его оригинальные идеи о единстве физических явлений, свойствах пространства, до той поры не изучавшиеся, могли найти подкрепление в беседах с участниками названного семинара.

В ноябре 1851 г. Риман представляет философскому факультету Гётингенского университета свою знаменитую докторскую диссертацию «Ocнования общей теории функций одного комплексного переменного», определившую новый этап в развитии теории аналитических функций заключающую в себе исходные идеи топологии поверхностей. Однако его служебное положение еще долго остается весьма скромным. Он работает ассистентом в семинаре Вебера; в его обязанности входит ведение упражнений для вновь поступивших. Звание приват-доцента, ничего не меняющее в его материальном положении, Риман получает только в 1854 г. после представления требуемой правилами второй его диссертации — на право преподавания в университете (Habilitationsschrift) и прочтения пробной лекции, выбранной Гауссом из трех предложенных Риманом тем. К сожалению, эта вторая диссертация, носящая название «О представлении функции тригонометрическим рядом» и, сообщившая мощный стимул разработке теории функций действительного переменного, была опубликована уже посмертно (в 1868 г.). Чрезвычайный интерес представляет и прочитанная Риманом пробная лекция «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», содержащая все основные идеи римановой геометрии.

В 1855–1856 гг. Риман читает свой курс теории абелевых функций, а через год направляет в печать большой, ставший классическим труд «Теория абелевых функций», который содержит блестящее развитие идей и методов его диссертации 1851 г. в применении к теории алгебраических функций и их интегралов и к проблеме обращения, поставленной Якоби и его учениками и считавшейся в то время не без основания одной из сложнейших проблем анализа. В промежутке он заканчивает и в 1857 г. публикует работу «Вклад в теорию функций, представимых рядом Гаусса», послужившую исходным пунктом аналитической теории дифференциальных уравнений. Наконец, если говорить здесь только о прокладывающих новые пути основных работах Римана, в 1859 г. он публикует исследование «О числе простых чисел, не превосходящих данной величины».

Лишь в ноябре 1857 г. гениальный ученый получил звание экстраординарного, а после смерти Дирихле — в 1859 г. и ординарного профессора. Среди курсов лекций, читанных им в Геттингенском университете, большое значение имеют лекции по дифференциальным уравнениям математической физики. Они были записаны его учеником Хаттендорфом и впервые изданы в 1869 г. В 1862 г., вскоре после женитьбы, Риман простудился и заболел. Обострение болезни, перешедшей в туберкулез, вынуждало его надолго прерывать напряженную работу ради оздоровительных поездок в Италию. Но болезнь прогрессировала, и 20 июля 1866 г. Риман скончался в Селаске у Лаго-Маджоре.

Такова была биография Римана. Теперь попробуем более подробно рассмотреть суть его научных изысканий. И здесь мы оказываемся перед чрезвычайно значимым фактом.

Можно не сомневаться, что, по сути дела, Риманом была создана принципиально новая геометрия, которая вслед за геометрией Лобачевского, отрицала непогрешимость пятого постулата. Т. о., можно сказать, что геометрия Римана — это одна из неевклидовых геометрий, т. е., геометрическая теория, основанная на аксиомах, требования которых отличны от требований аксиом евклидовой геометрии. В отличие от евклидовой геометрии римановой геометрии осуществляется одно из двух возможных отрицаний аксиомы евклидовой геометрии: в плоскости через точку не лежащую на данной прямой, не проходит ни одной прямой, не пересекающей данную. (Другое отрицание евклидовой аксиомы параллельности осуществляется в геометрии Лобачевского: в плоскости через данную точку не лежащую на данной прямой, проходит по крайней мере две прямые не пересекающие данную.) Т. е., получается, что существуют следующие основные типы пространства: пространство которое является плоским – т. н. «евклидово n-мерное пространство» [2] и искривленное пространство. При этом искривленное пространство может быть двух разных типов: «если кривизна положительна, то пространство называют римановым сферическим пространством, если отрицательна, то пространство будет псевдосферическим пространством Лобачевского» [3]. При этом геометрия Римана (и геометрия Лобачевского — тоже) является трехмерной. Особенно ценно то, что система аксиом трехмерной геометрии Римана может быть построена на основе тех же понятий, что и система аксиом евклидовой геометрии, где в качестве основных понятий применяются понятия: «точка», «прямая», «плоскость». «Прямая» и «плоскость» понимаются как некоторые классы «точек», а под «пространством» подразумевается совокупность всех объектов: «точек», «прямых» и «плоскостей». Т. е., выходит, что эти понятия «являются широко известными» [4].

Нужно, однако иметь в виду, что хотя геометрия Римана оперирует теми же понятиями, что и евклидова геометрия, тем не менее понятия эти имеют у Римана иное содержание.

Так , например, Прямая Римана — это т. н. эллиптическая прямая или замкнутая конечная линия. Моделью такой прямой (если ее рассматривать в евклидовой плоскости) может служить окружность. В свою очередь, Плоскость Римана есть эллиптическая плоскость или замкнутая конечная односторонняя поверхность (вроде листа Мебиуса, граница которого заклеена кругом). Да и само пространство Римана. которое является, как уже говорилось, трехмерным, следует понимать как эллиптическое пространство, т. е., замкнутое конечное двустороннее пространство.

Т. о., можно сказать, что геометрия Римана (или Риманова геометрия) — это собственно теория риманова пространства. Причем наряду с этим существует еще понятие Римановой геометрии в целом, и это уже раздел римановой геометрии, изучающий связи между различными (локальными и глобальными) характеристиками риманова пространства в различных условиях. Характеристики риманова пространства определяются этими условиями, главным из которых является кривизна (или риманова кривизна), которая, в свою очередь, является мерой отличия риманова и евклидова пространств. Или говоря точнее: степень кривизны определяет степень отличия риманова пространства от евклидова пространства.

Все исследования Римана строились, естественно, на жесткой математической базе, каждой его посылке или выводу соответствовала особая формула или группа формул. Благодаря исследованиям этого ученого в математике появились такие понятия как: Дзета-функция Римана, Дифференциальное уравнение Римана, Интеграл Римана, Метод суммирования Римана и т. д. Мы не будем, естественно, углубляться в математический анализ его исследований, хотя и считаем своим долгом сделать некоторые обобщения. А именно: во-первых, Риманом в XIX веке была создана принципиально новая геометрия; во-вторых, в основу этой геометрии были положены: а) осознание факта существования неевклидовой геометрии Лобачевского или так называемой «синтетической геометрии гиперболической плоскости» [5], б) понятие внутренней геометрии поверхностей К. Гаусса, в) собственные представления Римана о пространстве: в третьих, Риман своими исследованиями положил начало критике ньютоновской концепции пространства и времени. («Время у Ньютона отделено от мира, оно существует независимо от вещей»[6]); и наконец, в четвертых, Понятия Римановой геометрии сыграли важную роль в создании А. Эйнштейном общей теории относительности, дальнейшее ее развитие было связано с созданием аппарата тензорного исчисления. Риманова геометрия и ее многочисленные обобщения успешно развиваются, особенно в той ее части, которую называют римановой геометрией в целом, и находят обширные и глубокие механические и физические применения.

1. Математика XIX века (под ред. А. Н. Холмогорова и А. П. Юшкевича), стр.188-189.
2. П. С. Кудрявцев Курс истории физики, стр.301.
3. там же, стр. 301.
4. Дж. Вольф Пространства постоянной кривизны, стр. 7.
5. там же. стр. 6.
6. П. С. Кудрявцев Курс истории физики, стр. 301.